计算机数学

这是整个专题的入口。 如果你只看一篇，看这篇。 它回答三个问题：为什么是这八层、为什么顺序不能乱、怎么看才知道自己会了。 耗时：读完约 25 分钟。 开头：一万笔账，八层数学 假设你的任务很具体： ...

这个专题讲什么：一个成年人，想搞明白计算机到底建立在什么数学之上。 不是数学系的课程表，也不是"数学之美"那种读完很爽、用不上、然后就忘的东西。 ...

上一篇：（一）计算机里的数，不是数学里的数——讲的是一个数怎么被压进机器。 这一篇：讲一堆东西怎么被压进机器，以及压完之后冒出来的那些结构。 耗时：读完约 50 分钟，动手约 2 小时。 开头：一个 15 kHz 的声音，听起来像 1 kHz 先做个实验。有一个 15000 赫兹的正弦波——这是人耳能听到的、偏高的音。用不同的采样率去"录"它，再反推它的频率： ...

上一篇：（二）世界是连续的，机器是离散的——讲一堆东西怎么被压进机器。 这一篇：讲怎么确认压完之后它还是对的。 耗时：读完约 50 分钟，动手约 2 小时。 开头：一个活了 9 年的 bug 2006 年，Google 的 Joshua Bloch 在博客里写了一件事： JDK 里的二分查找是错的。 ...

上一篇：（三）怎么证明它是对的——讲怎么确认程序是对的。 这一篇：讲有些事，程序根本做不了。 耗时：读完约 45 分钟，动手约 1.5 小时。 开头：先给你一个"不可能"的任务 写一个程序，它读入任意另一个程序，然后回答： 这个程序会停下来吗？ 这个任务有个名字，叫停机问题（Halting Problem）。 ...

上一篇：（四）机器算不出来的东西——讲有些事机器根本做不了。 这一篇：讲有些事机器能做，但可能永远做不完——这是"能不能算"和"算得快不快"的分界。 注：大 O 和复杂度的基础（增长阶、为什么 O(n²) 不等于慢）已经在 /cs/analysis/ 讲过，这一篇不重复，只讲它没讲的那块——P vs NP。 ...

上一篇：（五）验证很快，找到很难——讲有些事能算但算不动。 这一篇：讲世界是不确定的，而概率是唯一能驾驭不确定性的工具。 耗时：读完约 50 分钟，动手约 2 小时。 开头：一个检测，准确率 99%，测出阳性，你慌不慌 假设你去做一项体检，医生说： ...

上一篇：（六）不确定的世界——讲概率怎么驾驭不确定性。 这一篇：讲计算机怎么处理"连续"的东西——因为机器只会加减乘除，不会求导。 耗时：读完约 50 分钟，动手约 2 小时。 开头：机器不会求导，但它能"假装"会 第一篇文章说过一句话： ...

上一篇：（七）用直线去逼近曲线——讲计算机怎么处理连续的东西。 这一篇：讲计算机怎么表示"意思"——这是整个 AI 的数学地基，也是八层的最后一层。 耗时：读完约 55 分钟，动手约 2 小时。 开头：机器不懂"意思"，但它能算"角度" 问一个看起来很简单的问题： ...